Оптимальное управление колебаниями струны что это?

Что это?

Данная страница — демонстрация результатов по управлению колебаниями струны (или продольных колебаний стержня, что то же самое), изложенных в статьях

• Рогожников А.М. Исследование смешанной задачи, описывающей процесс колебаний стержня, состоящего из нескольких участков с произвольными длинами // Доклады Российской Академии наук. — 2012. — Т. 444, № 5. — С. 488–491 [rus, en]
• Рогожников А.М. Оптимальное управление продольными колебаниями составных стержней с равным временем прохождения волны по каждому из участков // Дифференциальные уравнения. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 633–642. [rus, en]
• Рогожников А.M. О различных типах граничных условий для одномерного уравнения колебаний [rus]

При моделировании использовался алгоритм, описанный в последней статье

Постановка задачи

Имеется изначально покоящийся стержень, состоящий из n частей, на каждой из которых стержень обладает постоянными модулем Юнга и линейной плотностью (иными словами, можно считать, что каждый участок сделан из одного материала).

Требуется подобрать такие граничные управления μ(t) и ν(t), которые переведут стержень из состояния покоя в некоторое заданное конечное состояние, описываемое профилем струны Φ(x) и профилем скорости Ψ(x).

На стержень налагается условие: время прохождения по каждому участку одинаково, для простоты также полагаем, что время управления также кратно это времени. Поскольку решений задачи управления (за исключением исключительных ситуаций) бесконечно много, отыскиваются управления, минимизирующие т.н. интеграл граничной энергии.

Как пользоваться

Настроить данные для задачи:

• Указать число участков, плотность ρ и модуль Юнга k для каждого участка.
• Ввести функции Φ(x) и Ψ(x), обратите внимание, что берутся значения функции на участке [0 ≤ x ≤ 1] и линейно растягиваются.
• Выбрать типы граничных условий (первый/второй род).

Или просто нажать на кнопку «Сгенерировать данные» — тогда все эти параметры будут подобраны случайным образом.

Нажать кнопку «пуск» и наслаждаться зрелищем. На левом графике зеленым отображается профиль струны u(x,t), серым — профиль производной по времени u_t(x,t). Также будут посчитаны и отображены граничные управления. Три горизонтальных линии на каждом графике отвечают значениям y=0,1,-1