Никитин А.А.

Пятница, 16:20,
ауд. П-8а

Годовой спецкурс для студентов 1-4 курсов

Курс посвящен методам решения интересных и нетривиальных задач из области конструктивного математического и действительного анализа. Ставится цель – повышение математической культуры слушателей путем преодоления устоявшихся стереотипов. Это достигается изучением патологических примеров функций и множеств. Много времени уделяется решению нестандартных задач олимпиадного характера, не выходящих за рамки стандартного курса математического анализа.

Содержание курса

Совершенное множество Кантора. Пример несчетного нигде не плотного множества меры нуль. Точки конденсации. Арифметическая характеристика канторова множества. Обобщен-ное множество Кантора с отношением Ө (0< Ө<1/2). Пример, интегрируемой на отрезке [0,1] функции, множество точек разрыва которой имеет мощность континуума. Сингулярная функция Кантора («Чертова лестница»), монотонно возрастающая функция с производной почти всюду равной нулю. Условие Липшица порядка α (0 < α < 1). 

Совершенные нигде не плотные множества на плоскости. «Ковер Серпинского», «Клад-бище Серпинского», «Гребенка Кантора». Арифметическая структура данных множеств. Пример всюду плотного на единичном квадрате множества, которое всякая вертикальная и горизонтальная прямая пересекает не более чем в одной точке.

Различные способы отображения единичного отрезка прямой на единичный квадрат плос-кости. Примеры кривых Пеано-Гильберта. Свойства этих отображений: непрерывность, однозначность, не взаимно однозначность и др. Кратные точки кривых. Арифметический способ задания кривой Пеано. Представление единичного отрезка в виде суммы континуума совершенных множеств попарно без общих точек. Трехмерная кривая Пеано. Формализация понятие кривой на плоскости. Кривые Жордана, Кантора, Урысона.

Применение фракталов для построения примеров сильно патологических функций: функ-ции, которая имеет точки разрыва, плотно расположенные в единичном квадрате, и которая дифференцируема в точках, расположенных плотно в единичном квадрате; функции, имею-щей строгие минимумы и максимумы на всюду плотном в единичном квадрате множестве; функции всюду непрерывной на единичном отрезке, но нигде не дифференцируемой на нем.

Примеры Вейерштрасса и Ван-дер-Вардена всюду непрерывных, но нигде не дифференцируемых функций. Пример строго возрастающей сингулярной на единичном отрезке функции. Метод «сгущения особенностей».

Страница курса: http://vmk.somee.com/Details/449